刘立群北外的博客
凤凰博报 由你开始
http://liuliqun.blog.ifeng.com
发表 管理 分类 简介 头像 功能 音乐 友情链接 模板 个性域名

为什么1+1=2?——数学哲学创新札记(从四元存在论哲学出发)

2016-08-06 23:40:17 编辑 删除

归档在 哲学创新 | 浏览 19519 次 | 评论 0 条

为什么1+1=2?

——数学哲学创新札记(从四元存在论哲学出发)

             刘立群

英国著名哲学家罗素曾经说过:“我们所称之为数学的是这样一个领域,…在这个领域中,我们永远不知道所讨论的是什么,也不知道所说的是否真(true)。”这句话尽管不乏英国式的幽默,但同时多少说明哲学界或者说其中的一派对数学以及对数学哲学即数学基础问题的看法。虽然人们公认数学是科学的“皇后”,是迄今最为严谨、最为科学的学科,但是在数学基础问题研究领域,自19世纪下半叶起却相继出现了逻辑主义、形式主义、直觉主义、柏拉图主义、拟经验主义等各种流派,它们对于“数是什么?”、“数学是什么?”、“数学研究的对象是什么?”、“数学所依据的基础是什么?”等问题的见解往往南辕北辙、莫衷一是。这种状况可以简单地比喻为:人们对于“1+1=2”早已没有任何异议,但是对于为什么“1+1=2”即“1+1=2”的道理到底是什么,迄今则歧见叠出、众说纷纭。数学基础问题领域为什么会出现这种混乱?其根源在哪里?笔者认为,这种混乱的根源在于迄今哲学研究领域观点的混乱。

笔者在《超越西方思想——哲学研究核心领域新探》(2000年第一版,2008年增订版,社会科学文献出版社,以下简称《超越》)一书中区分了哲学核心领域和外围领域;提出哲学核心领域包括存在论、符号论和认识论;存在论应当是基本层次论;提出并论证了一种四元存在论,即对象世界、符号世界、定义内容世界和想象力世界这四个基本层次。笔者认为,数学基础问题之所以至今没有获得解决,其主要原因是:1,缺少正确的存在论,2,研究者大多是从存在论和认识论出发,却缺少符号论的视角。简而言之,缺少完全正确的哲学核心领域。本文从《超越》一书提出的哲学核心领域、尤其是从四元存在论出发,对解决数学基础问题进行一次大胆尝试。

数学基础又称为“数学哲学”、“数学的哲学基础”、“元数学”等。它与数学本身(包括纯粹数学及应用数学)的根本区别在于:数学基础研究的目的是把与数学研究和应用有关的各种基本条件和情况都讲清楚、讲充足,而人们在研究以及运用数学本身的过程中则可以不去、也不可能和不需要去考虑这些问题,因为数学本身作为工具性实证科学只要严谨、方便、有用即可,人们在研究、掌握和使用数学本身的时候不必考虑更多的事情。这恰恰说明数学基础问题研究属于哲学研究领域,确切地说属于哲学研究外围领域,而数学本身则不是。

一、从四元存在论出发看数学

对于“数学的基础是什么?”这个问题,学术界从19世纪下半叶至今已经讨论1百多年,迄今比较流行的看法是:整个数学大厦建立在算术的基础之上,算术则建立在“自然数”理论的基础之上,整个数学以及“自然数”理论最终又建立在集合论以及现代形式逻辑学的基础之上,即认为集合论以及现代形式逻辑学构成了数学的最终基础,而集合论与现代形式逻辑学本身都是基础理论,它们不再需要其他的基础,诸如“集合”、“元素”等是不需定义的“初始词”或“初始概念”,它们可以不加限制地应用于任何对象。

在《超越》一书观点的基础上,笔者在此提出一系列新的观点,即认为整个数学最终具有三重基础,三者缺一不可:第一重就是由存在论、符号论和认识论三者构成的哲学核心领域,这是最重要、最根本的基础;第二重是算术和几何学自身所具有的专门的、独特的基础;第三重基础则是人们的想象能力即作为第四个基本层次的想象力世界。基础就是指整个数学的逻辑推理最终归结为它们。由于形式逻辑学与数学一样只是工具性实证科学,它本身因此并不能作为数学的基础。目前的集合论学说则存在严重的不足,只有在使用正确的哲学理论加以改造之后,才能成为数学基础的一个必要的组成部分。这就是说,数学作为符号系统只是相对独立的,而不是绝对独立的,数学基础问题的解决因此必然离不开哲学核心领域问题的正确解决。

《超越》一书已经指出,大体上可以说,语言文字是定性的符号系统,数学则是定量的符号系统。符号系统主要有两种表现方式:口语-听觉方式与书写-视觉方式。也就是说主要有两类符号:口语-听觉符号与视觉-书写符号。数学符号系统的口头表达方式显然与各个民族语言(以及方言)的口头表达密不可分,是各个民族语言口头表达方式的一个组成部分,迄今因各民族语言口语的不同而各不相同;而主要自近代以来逐步形成的数学书写符号系统现在则已经基本达到了全世界统一,即超越于各个民族语言口头表达的巨大差异之上。这种全人类统一的数学书写符号系统既是数学本身发展进步的体现和结晶,同时也为推动现代数学本身的发展进步做出了不可替代的、关键性的贡献。因此,本文的讨论基本上不考虑数学符号系统的口头表达方面,而主要以数学的书写符号系统为准。

对于语言文字符号系统而言,由于存在着不同的民族语言,因而存在着字面义,即一共有内涵义、外延义和字面义这三类词义(详见《超越》一书第二章“存在论”);对于数学符号系统、尤其是对于其现代书写符号系统来说,由于基本上不存在民族语言的差异,所以也就基本上不存在字面义问题,而只与内涵义和外延义这两类词义有关。

正如语言文字本身是符号系统一样,数学本身也首先是符号系统,是由符号所构成的,即离开了作为符号世界的术语语词、数字符号及各种最简符号,都谈不上语言文字和数学的存在。与此同时,无论语言文字还是数学符号系统,它们都不是、也不可能是没有意义的“形式符号”,正相反,它们都有着复杂的内涵即定义内容,也正因为如此才谈得上有系统性即内涵逻辑推理。大体上可以说,语言文字是定性的符号系统,数学则是定量的符号系统。也可以说,语言文字语词具有定性的内涵,数学专用词及符号主要具有定量的内涵。两者互不可少,各有各的用处。

数学的诞生开始于人类发明记数符号,人们出于对记数物体等的需要而发明出最初的视觉符号,包括使用石子、结绳以及书写符号等。即数学的诞生并非开始于问题,但是数学研究的诞生则开始于问题。

  数字符号以及其他有关的数学符号系统一旦发明出来之后就具有相对的独立性,可以单独存在和单独进行研究以及使用,甚至可以用来做数字游戏及各种数学游戏。推动数学研究不断发展的动力主要有两个:一是解决各种实际问题以及经验性实证科学问题的需要,二是在研究纯粹数学本身的过程中出现的种种问题。两者相互补充。

目前在任何数学书刊中,除了有文字语词之外,数学所特有的术语及符号有以下六种:1,数词;2,运算词(汉语中为“加”、“减”、“乘”、“除”等)及其最简符号(即“+、-、X、/ ”等);3,几何图形即几何符号;4,字母符号,用来代表数词、数量、运算、几何图形等,甚至还可以代表另外一些字母,即字母作为“形式符号”其实并不是完全没有内涵,而只是往往没有固定的内涵;5,关系词(汉语中为“大于”、“小于”、“等于”等)及其最简符号(有“>”、“<”、“=”等);6,辅助符号,如圆括号、方括号等。有的书中把数学符号分为四类,即除了关系符号、运算符号和辅助符号之外,把表示数及集合图形的符号等笼统地称为“元素符号”(见刘云章著《数学符号学概论》安徽教育出版社1993年版第20页)。笔者认为,数词、几何图形以及字母符号三者有根本的不同,应当明确区分开。

几何图形是直观的,可以实指,而数词则不是直观的(仅“1”除外),必须定义。这样,对几何图形的名称如“点”、“直线”、“三角形”等所做出的说明就不是真正的定义。

德国数学家克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891年)有一句名言:“上帝创造了自然数,其他都是人的作品(Die ganzen Zahlen hatder liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk)。”笔者认为,其实连自然数也是人的作品,所以“自然数”这个名称是不大妥当、欠科学的,因为任何数词都不是自然地即自动地产生的,也不是天然存在于自然界当中,而都是由人类逐步发明出来的符号。因此,笔者主张在严格的科学研究领域不再使用这个不大科学的术语,以避免继续误导人们,而只用“正整数”这个完全科学的术语。当然,正整数之所以被称为“自然数”是有其一定原因的,即自然界天然存在着单个的即一个个易于分别的物体,例如一个个的人、每人手上的一个个手指、一粒粒石子、一头头动物、一颗颗星星、一棵棵数等等,有几种比较自然地最先被人们用做符号即能指(如手指、小石子)去计数其他各种需要计数的东西即所指,而人们后来发明出的数词符号(无论是口头符号还是书写符号)也必然首先是正整数符号,即正整数词是人们必定最先发明出来的数词,是进一步发明其他数词的基础。

数论是研究整数各种特点的学科,而整数、尤其是正整数是最基本的数词。数学家高斯因此称“数论是数学中的皇后”。

数学基础问题包括算术基础和几何学基础两个方面。虽然笛卡尔所创立的解析几何学打通了算术和几何学的关系,但是从根本上即从哲学核心领域的角度看,两者是不同的,通过对其基础问题的研究更可以看出这种区别。这就是说,数学符号系统包括算术符号体系和几何学符号系统这两个不同的符号系统。但是在这两个符号系统中,算术符号系统更为基本,是主要的符号系统,几何符号系统可以称为辅助的符号系统。即如果没有几何符号系统而只有算术符号系统,则数学依然存在、可以运用,反之则谈不上数学的存在。

在整个数学研究领域,世界各国即全人类现在已经达到了几乎完全一致的结果,并且自几百年以来在全世界逐步推广使用了完全相同的符号系统,这主要是印度-阿拉伯数字符号系统与其他各种数学书写符号。例如,全世界每个人都承认“1+1=2”,而不可能得出“1+1=3”或“1+1=4”等等,即公认前者是正确的算式(反过来说就是对数字“2”唯一正确的定义),而后者都是错误的,如此等等。但是在数学基础研究领域,人们的观点却各色各样、大相径庭。例如,对于“数学是研究量的科学还是研究结构的科学?”这个十分基本的问题(参见《自然辩证法百科全书》中国大百科全书出版社1995年“数学哲学问题”一条),迄今就没有定论。本文认为,后一种观点基本上不正确,但前一种观点也失于简单。

庞大的数学体系实际上包含有两类语词及其定义系统,第一类是数词及其定义系统,它是数学中的主要系统,是数学之为数学的关键所在;第二类是文字术语及其定义系统。这两类语词及其定义系统虽然密切相关,但是必须从理论上把它们严格区分开。从数学发展史的角度看,人们首先发明出数词及其定义系统(从最简单的正整数词开始,然后逐步扩展),而后才逐步发明出相关的文字术语来称谓这些数词及运算即为它们进行分类和命名。数词及其定义系统的基本特征是有序性,这从正整数词就可以清楚地看出来。发明出数词主要是为了进行记数和进行计算的需要,而进一步对数词进行分类和命名则是为了对数词问题进行讨论、讲授和研究的需要。数词及运算的定义系统是自成体系的,而文字术语定义系统则不可能完全自成体系。

数学之所以具有严密的科学性,其主要原因一方面是在于逻辑推理的严密性,另一方面则是数学术语及符号的单义性。这两点缺一不可。

初等数学是整个数学体系的基础和核心,四则运算又是基础的基础、核心的核心,没有四则运算就不可能建起整个数学大厦。

迄今人们主要从存在论和认识论这两个角度去研究数学基础问题,而忽视了从符号论角度。数学基础领域的形式主义尽管把数学当作符号系统来看待,但是却把它看作是“形式符号”。这些不正确的观点和角度最终都与迄今缺少正确的哲学核心领域有关。从笔者《超越》一书的观点出发,就能够比较好地解决有关的一系列问题。离开了符号(不论是口头符号还是视觉-书写符号),数学就根本不可能存在,而且大多数符号都是有确定意义的,没有固定意义的形式符号只是符号之一种。

  在语言文字系统中,迄今区分了实词和虚词;在实词当中,笔者在《超越》一书中区分了专名、类名和理论术语。从这种区分出发来看数学领域中的语词和符号,可以得出:数学中没有自己的专名,绝大多数都是类名,在数学基础问题领域有理论术语。

二、集合论的失误及其“悖论”的解决

迄今一般认为,集合论是整个现代数学的基础,从“集合”以及相关的几个“不需定义的基本概念”出发,可以去定义“自然数”、“实数”、“函数”等等。从笔者在《超越》一书中所提出的观点、尤其是四元存在论出发,就可以发现集合论当中的失误之处。

集合论现在通常分为素朴集合论和公理集合论两种,前者是德国学者康托尔(1845-1918年)于19世纪末提出来的,后者则是在前者的基础上加以系统化、精致化。不过,从哲学存在论的角度看,二者存在的问题即错误没什么根本区别。集合论中的最大错误就在于没有严格区分开四个基本层次,实际上是把四个基本层次混为一谈。

康托尔把“集合”一词定义为:“我们把‘集合’(Menge)理解为我们的直觉或思维能够明确区分的对象m所汇集成的总体M,我们称这些对象为集合的‘元素’。记为:(1) M={m}”(见《超穷数理论基础文稿》,内蒙古大学出版社1995年版第61页,另见李文林主编《数学珍宝——历史文献精选》科学出版社1998年版第707页)显然,从一开始,“集合”和“元素”就被当作任何东西、任何事物,而从哲学存在论的角度看,人们能够明确区分开的可感知对象有两大类:一是对象世界,即除符号世界以外的所有可感知事物,包括自然事物、人类社会及人的心理现象;二是人类所发明的符号世界。

集合关系应当只限于在符号世界之内,这就是说,只应当把一部分类名当作集合、限制集合的范围,即应当只把其外延是符号的语词当作集合,而不应当把所有类名都当作集合。

通常认为,集合论的一个基本做法或原则是一一对应。但是,这种观点忽略了一个更为基本的原则或者前提,这就是:人们在进行一一对应时,一定已经发明出了或者正在使用一种东西(例如原始时代曾经使用的小石卵、小木棍)当作记数符号,否则就不可能进行一一对应。这点也说明集合论并不是数学的最终基础。

  康托尔区分了“可数的无穷集”即有理数和“不可数的无穷集”即无理数。他没有进一步明确区分开存在着无穷多个无理数和每个无理数都有无穷多个位数这两种不同的情况。由于凡涉及到无穷性、无限性都必须使用人的想象力,可以看出,当人们在思考一种无穷的时候(例如思考无穷多的有理数或者无理数),需要一重想象力,而当人们同时思考两种无穷的时候(例如思考无穷多个无理数和每个无理数有无穷多个位数),则需要两重想象力。

   迄今集合论所讲的“传递性”没有区分开两种不同的情况。第一种是诸如1<2且2<3,则1<3,这种“传递性”实际上就是数词的有序性;第二种是诸如:有集合S1、S2、S3,S1∈S2且S2∈S3,则S1∈S3,设这三个集合分别是正整数、整数、有理数,则这种传递性显然与数词的有序性根本不同。

集合论“悖论”迄今主要采用罗素等提出的“类型论”方法来解决。从上面所论来看,问题并不在于是否把“集合”划分类型,而是要限制无位值记数法作为算术的基础。

人类进行记数(shù)一定需要两个前提条件,第一是用来记数(shù)的符号,第二是被计数(shǔ)的东西。这相当于名与实或能指与所指的关系。一些动物已经具有一定数的感觉,但那主要是出于其生物本能和生物遗传。正如美国学者丹齐克在《数,科学的语言》(商务印书馆1985年版)一书中所说:“数觉(number sense)和计数不能混为一谈。···计数是一种人类独具的特性;另一方面,有若干种动物看来也具有一种和我们相类似的原始数觉。”(第1页)

人类最初可能也像这些动物一样,具有某种本能的计数能力或数觉,但是,只要不发明出记数符号,则人类的计数能力就和动物性的数觉本能没有根本的区别,因为记数符号一方面使计数比较大的数目成为可能,另一方面则使人们的智力能力得到逐步锻炼和提高并且能够向下一代进行传授。在自然界存在着一些天然的物品适宜用作记数符号,包括人自己的手指以及小石卵、小贝壳、小木棍等;另一方面,许多天然物品十分容易分辨出个数即易于让人去计数,而人们在一定条件下也需要对他(它)们进行计数,例如一个一个人、一棵一棵树、一颗一颗星星、一头一头牲畜,乃至一昼夜一昼夜的时间交替,等等。这些为人类计数能力的产生和提高提供了必需的条件。以后,随着人类智力的不断进步和客观上的需要,人们逐步发明出口头上的、尤其是视觉-书写的记数符号以及各种运算符号等。

这就是说,不论人们使用什么自然物品做计数符号或者发明出什么符号来计数,在理论上即在哲学存在论的意义上都应当把它与被计数的物品或东西区分开。从这里出发,就可以看出集合论的错误所在。在集合论看来,任何事物天然地都是一定数目的集合即所谓“基数”,问题在于有没有人去发现它们即计数它们。这种观点显然是头足倒置的。如果不是由人类发明出记数符号去计数事物,则任何事物本身都谈不上有还是没有数目,犹如如果不是由人类逐步发明出语词语言去对万事万物进行命名,则万事万物本身谈不上有没有分类。只是在人们发明出记数符号即数词来计数各种事物之后并完全熟悉和习惯于这种计数之后,才能有数目的意识和计数的能力乃至习惯,并进而易于误以为一切事物本身都是有数目的,忘记了能够进行计数的基本前提是什么这一点。

“什么是数?”这个问题自古以来就困扰着许多学者,这个问题看来似乎很简单,但是实际上却很不简单,以至于学术界至今也没有能找到完全满意的答案,现在通行的回答就是集合论的回答,即认为数就是集合中元素的数目即“基数”。问题的关键就在于迄今缺少正确的哲学存在论。从四元存在论的角度出发,就可以看出,迄今对于“数”(=[英]“number”,[德]“Zahl”)这个词的理解和定义是混乱的,即该词实际上是多义的。这里需要从理论上进一步严格区分开“数”与“数词”这两个不同的术语及其词义。在实际应用当中,人们通常不去严格区分二者。由于这并不影响人们的理解和使用,因此不必去强求严格。但是在理论科学领域,如果不严格区分开二者就必然出现一系列的混乱,即这种区分主要具有哲学上的意义。这就是把这两个术语单义化。

简单地说,数词就是表达一定数目的意义单位即一定的符号(包括单个符号及符号组),而数就是数词所表达的内容即所具有的内涵,也可以称为“数值”。例如,“1”、“2”等是数词,“12”、“235”、“2.25”等等也都是数词,确切地说,它们都是作为视觉符号书写下来的数词,是根据一定的规则亦即定义规则书写出来的,这种定义规则就是记数法。不同的记数法就是不同的表达数(即数值)的方式,即同一个数可以用不同的记数法来表达,同理,不同的数词就可以表达同一个数即可以有相同的内涵。

任何记数法都只能使用有限的记数符号即基本符号,而不可能使用无限多的记数符号。这里需要区分开符号单位与意义单位。前者是指基本符号即单个符号,后者是指由基本符号组成的符号组。例如,“1”、“2”、“3”等是基本符号,是符号单位,尽管它们同时也是意义单位;而“12”、“235”、“2.25”等等则是由基本符号组成的意义单位即符号组。这就是说,本文所说的“数词”是指数的意义单位。从四元存在论出发就可以看出,数词处于符号世界这个层面,而数处于定义内容世界这个层面,人们可以使用数词去计数(shǔ)对象世界中的东西。数论的特殊之处就在于它只研究数词本身,而并不去研究数词的应用。没有数词就谈不上有数存在。

如果把数词符号与语言文字符号系统相比,可以把数词的基本符号比做语言文字符号系统中的单纯词,符号组则比做复合词。(参阅《超越》第三章第三节)当然,复合词的长度一般是有限的,在汉语当中一般不超过大约10个汉字,在英语中通常也不超过10-15个字母,德语中的复合词一般则比英语要长,等等。而在数学当中,数词的长度则是根据需要任意选择和确定的,在表示大数时数词必定要长(在没有使用简写法的情况下),在表示精确度高的数时数词也必定会长(即小数点后的位数多)。

没有基本符号就谈不上进一步去构成符号组,犹如在语言文字符号系统中没有单纯词就谈不上进一步构成复合词一样;但是仅有基本符号并不等于能自动地构成符号组,因为用基本符号构成符号组是需要一定规则的。而记数法就是这种规则。现今人们通常使用的是十进制记数法,但是从数学基础研究的角度看,应当首先区分开数词符号的不同定义方式,并进而区分开无位值记数法与有位值记数法。

数词本身有三种不同的定义方式:第一,实指的定义方式,这就是符号“1”(它也可以写成“I”或者“.”等等)以及无位值记数法(详见下);第二,对基本符号即单个符号的定义,迄今也称为符号的“固有值”,例如“Ⅴ=Ⅰ+Ⅰ+Ⅰ+Ⅰ+Ⅰ”,“2=1+1”,“3=2+1”等等;第三,位置定义方式,迄今又称为“位置值”或简称“位值”,它又可以分为使用加法减法的方式与使用乘法的方式,罗马数字使用的就是加法减法位置定义方式,例如“Ⅳ”表示“Ⅴ-Ⅰ”(即4),“Ⅵ”表示“Ⅴ+Ⅰ”(即6),其数词相邻符号之间是相加或者相减的关系,这种记数法因此应当称为“不彻底的无位值记数法”,迄今一般仅称之为“无位值记数法”则是欠准确的;而各种彻底的有位值记数法使用的就是乘法位置定义方式,即二进制、三进制、十进制等等,其数词相邻符号之间是倍数即相乘的关系,它们是真正的有位值记数法。

依据上面所论,理当划分出三种记数法,即彻底的无位值记数法、不彻底的无位值记数法以及有位值记数法,而不是像迄今通常只区分无位值记数法和有位值记数法两种。彻底的无位值记数法只有一个记数符号,即它的底数([英]base,radix,汉语中迄今又译为“基底”或“基数”,不过,后者与“cardinal number”的汉译名“基数”相同,造成汉语“基数”一词有两个词义,易于相混,因而不取)是一,因此也被称为“一进制”(译自英文“unitary system”一词)。不过,“一进制”这个汉语译名易于产生误解,以为它也像二进制、十进制等那样与进位有关。其实这种记数法不含有任何进位。它曾经流行于人类文明水平低下的原始时代,现在在世界上早已基本上不再使用,因此没有公认的统一写法和相应的读法。本书采用的书写符号是“1”,在汉语中读为yī。为使读法和写法相一致,随后的数字写做“11”,但不读为èr(贰,因为汉语中从壹到拾这十个读法说明是十进制),而是读为yīyī;“111”不读为“sān”(叁),而是读为yīyīyī,依此类推。诸如二进制符号“11”通常表示为“11(二)”(读为“二进制记数法的yīyī”),十进制符号“11”则表示为“11(十)”(读为shí- yī,拾壹),即通过加下标加以区别。仿照此例,本书把无位值记数法也加下标表示,例如“11”表示为“11(无)”,读为“无位值记数法的yīyī。在不发生误解的情况下则省略下标,仍然使用通行的十进制。

显然,彻底的无位值记数法的特点是:1,具有完全的直观性(即自明性)和实指性,从而不需要任何方式的定义;2,它只能适用于得数为正整数范围内的加法和减法;3,这种记数法显然不能进行乘法、除法以及其他更为高级的运算;4,它没有表示零的符号,所以也不可能有位置值(即位置定义)和小数点,不可能表示除了正整数以外的任何数。

从符号的两个基本原则即区别原则和省力原则的角度来看(参阅《超越》第三章“符号论”),由于彻底的无位值记数法只有唯一一个符号,最容易记忆,从这个意义上说最符合省力原则,但是却最不符合区别原则;进位制愈高虽然愈符合区别原则,却愈不符合省力原则,即需要记忆的基本符号愈多。因此,实际通用的进位制就必须兼顾这两个方面,而十进制恰恰具有这个优点。

正是由于彻底的无位值记数法有这些严重缺陷和局限性,使得数学的进一步发展成为不可能,所以人类在进入文明时代以后很快就完全摈弃了它,而代之以更为高级的记数法即有位值记数法。不过,从理论科学研究的角度看,正是这种最为原始、最为直观的记数法构成了其他记数法的基础,即这种记数法与同样是自明和直观的加法和减法共同构成了算术的基础,并且成为整个数学大厦基础一个必不可少的组成部分。

                 三、符号世界的层次性

正如语词是指意义单位一样,数词也是指意义单位。数词应当分为两级书写单位,单个数字符号“1、2、3”等是第一级意义单位,组合而成的数词“10、24、85”等则是第二级意义单位。

笔者在《超越》一书中区分了形式逻辑推理和内涵逻辑推理。在这里把后者进一步区分为定性的和定量的内涵逻辑推理两大类。在数学中,同时存在着所有这些类型的推理。“如果···那么···”是形式逻辑推理;“1+1=2”等等是定量的内涵逻辑推理;诸如“乘法是同一个数连续相加的简化形式”等等这类表述以及推理则属于定性的内涵逻辑推理。

数词有两个基本特点,一是单义性,二是有序性。可以说,有序性是数词区别于定性的语言文字语词的关键所在,也是数词具有定量性的关键所在。

在一定意义上可以说,定量是数词的对“外”方面,有序性是其对内方面。从根本上说,二者是一致的。

数词的有序性是单向的、不可逆的,而不是双向的、可逆的。从这点出发,就可以很容易解释为什么只存在加法交换律和乘法交换律,而没有减法和除法交换律,这就是:数词在加法和乘法中相交换并不影响其运算结果原来的有序性,而在做减法和除法时相交换则必然影响数词本身及其运算结果的有序性。数学归纳法本身就说明了数词的有序性,如果没有这种有序性,则数学归纳法就不成立。

有的学者认为,12是比10好得多的底数。如果用12做底数,1/3便写作4/12,即0.4;2/3=0.8,1/6=0.2,1/5=0.24,3/4=0.9(见《戴文赛科普创造选集》江苏人民出版社1980年版第214页)。据传,瑞典的查理十二世(1682-1718年)曾企图在本国推广使用十二进制,但没有成功。阿西莫夫在《数的趣谈》一书中指出:“使用哪一种数制都是合理的,问题在于使用哪一种数制最为方便。随着底数的逐步增加,数字似乎变得越来越短。···然而,随着底数的增加,用于构成数字的不同数字符号也增加,这就增加了不方便。”(上海科学技术出版社1980年版第32页,“底数”原译为“基数”)这种不方便就是增大了人们记住基本数字符号的负担。

罗素称:“我对于2所下的定义是一切双的类,3是一切三个一组的类,等等。”(《我的哲学发展》商务印书馆1982年版第62页)这就是用集合论的方式来定义各个数词。在笔者看来这显然是错误的,是头足倒置,也是多此一举,把问题不必要地复杂化。正如上面所说,“2”的定义就是“1+1”,“3”就是“2+1”,等等。这些是符号定义,此外还有位置定义。

在一定意义上可以说,纯数学本身基本上不存在是否符合实际的问题,例如“1+1=2”之所以正确主要并不是因为它符合实际,因为用二进制表示为“1+1=10”同样正确。从根本上说,这与数词和运算词等都不是出于对实际事物的命名有关。

[英]兰佐斯《无穷无尽的数》(北京出版社1979年版)一书指出:“···数既不是事物的属性,也不是事物的组成部分,更不能和事物等同起来。它们只不过是同事物有所联系而已。”(第10页)“在用数的世界中的实体进行运算的过程中,我们可能要通过一串在物质世界中找不到对应物的数学运算,···例如虚数和复数在运算中只起承上启下的作用,它们在物质世界中可能并没有任何对应物。”(第12页)这里所论基本上是正确的,但是并不透彻,关键是作者以及迄今的学术界没有明确地把数学首先看作是符号系统,是人类创造出来的符号世界的一部分,也没有完全正确的哲学存在论作为理论前提。这个符号世界当然不是事物的属性或其组成部分,但也并不是“只同事物有所联系而已”,而是可以用于记数事物的数量、计算有关的数学问题等等,而这本来就是人类发明出数学符号系统的主要目的。

克莱因《古今数学思想》第四册(上海科技出版社2002年版):“负数和复数是最令人费解的。因为这两种数在自然界中没有‘实在性’,···到后来,四元数、非欧几何、几何中的复元素、n维几何、稀奇古怪的函数,以及超限数的引进,迫使人们认识到数学的人为性(artificiality)。”(第102-103页)但是当时的数学家又走向了另一个极端,例如康托尔声称“数学的本质就在于它的自由”,以此为他所提出的“超限数”(transfinite number,又译为“超穷数”)来辩护。

《戴文赛科普创作选集》(江苏人民出版社1980年版)“谈数”:“符号的方便不方便,对于一门科学的进展,影响很大。我国古人在数学上有辉煌的成就,···只可惜没有发明出简单方便的符号,也没有早一点采用阿拉伯数字。假使早一点采用合适的符号,成就一定更大。”(第195页)尤其是中国古代没有发明出最简符号,西方数学界则捷足先登,率先发明出数学中各种最简符号,推动西方数学以及自然科学研究近代以来领先于世界。

四、“连续统”问题

  想象本身首先和主要存在于人脑之中,而不与外在的可感世界直接相关,即想象本身不可实指。因此,无穷小数既不可能有实际对象去实指,也不可能用有穷的符号组表示出来。这样,“连续统”问题可以说就获得了解决。

  无限问题(无穷大数、无穷小数等)不可能还原为有限问题,这同时意味着想象不可能还原为逻辑推理,两者各有其用处,只能同时并存。康托尔论证存在着“实无限”,弗雷格和戴德金力图把算术还原为形式逻辑学,他们失误的关键都在于没有明确认识到想象力在数学中的独特作用和特殊地位。他们认为数学之所以最为严密和精确,就是因为它全部是合乎逻辑推理的、合乎理性的,他们认为想象力是非理性的、不合乎逻辑的,因此与数学无关。其实,想象力并非都是“非理性”的,并非和逻辑推理完全无关。

  康托尔区分了“可数的无穷集”即有理数和“不可数的无穷集”即无理数。这意味着,一方面有无穷多个无理数,另一方面每个无理数有无穷多个位数,因此在不同的无理数之间无法严格区分开,说“这个无理数”或“那个无理数”是一种不够严谨、自相矛盾但却无奈的表达。有无穷多个数,这需要一重想象力,而“每个”无理数都有无穷多个位数,这需要另一重想象力,即双重的想象力。这正是无理数的特殊之处。

德国哲学家康德认为,数学“不是经验的直观,而是纯粹的直观”(《未来形而上学导论》商务印书馆1978年版第39页)。从上面所论可以看出,这个概括并不准确。首先,算术自身的基础即数字“1”显然是经验的直观;其次,几何学图形也属于经验的直观。    

人脑的想象可以分为三种,即图形想象、借助于语言文字的想象和借助于数学符号的想象。在数学中,几何图形本身只与图形想象有关,而无穷大数、无穷小数则主要与借助于数学符号的想象有关。

数学主要是运用逻辑,确切地说主要是运用定量的内涵逻辑推理,同时也运用定性的内涵逻辑推理,但是也离不开直观和想象力。迄今人们普遍不承认数学离不开想象力,这是数学基础问题至今没有得到完全解决的主要原因之一。另一个主要原因就是缺少正确的哲学核心领域,尤其是缺少正确的存在论和符号论。

康德认为空间和时间是“纯粹数学的一切知识和判断的基础”,称“几何学是以空间的纯直观为根据的;算术是在时间里把单元一个一个加起来,用这个办法做成数的概念”(康德《未来形而上学导论》商务印书馆1978年版第42页,译文稍有改动)。笔者认为,几何学与空间有关这一点基本上是正确的,尽管康德当时所知道的只有欧氏几何学,而不知道尚未诞生的非欧几何学;但是把算术与时间相联则基本上是不正确的。

   欧氏几何学可以称为“平面几何学”,黎曼几何学可以称为“凸面几何学”,罗氏几何学可以称为“凹面几何学”,它们各自采用不同的坐标系,而坐标系本身属于符号世界,并不属于宇宙自然界。宇宙自然界就是宇宙自然界,不能说宇宙自然界“属于”某个坐标系即符号世界,两者不应混为一谈。

(附记:笔者大约于1985年左右开始关注并初步研究数学基础问题,当时获得德国朋友寄赠的几部数学基础问题书籍;1989年10月底至1990年11月底于德国海德堡大学研修期间用德文写了有关“数学基础”论文。从2004年12月25日开始笔者用中文写作此文,本想写成正式论文投稿发表,但可惜各种事情太多,始终未能写成十分成熟的论文。现以札记形式发表在凤凰网博客“刘立群北外”中,希望可对数学哲学研究以及整个哲学研究有所推动,祈望各位方家指正。)

(2004年12月25日—2016年8月6日)


有不一样的发现

0
上一篇 << 中美矛盾的症结及其出路      下一篇 >> 超越文明的冲突—从历史哲学到未…
 
0 条评论 / 0 人参与 网友评论 跟帖管理

关于博主

刘立群北外

欢迎您来我的凤凰博客! 共同思考,大胆创新!

博文相关

凤凰博报微信